BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Dalam pembelajaran
matematika telah kita ketahui ada macam-macam bentuk bilangan. Seperti bilangan
genap, ganjil, bulat asli, real dan salah satunya yakni bilangan prima. Sejak
sekolah dasar tentu kita telah mengetahui apa itu bilangan prima. Bilangan
prima yakni bilangan yang hanya mempunyai dua fakor yakni satu dan dirinya
sendiri. Bagi sebagian orang tentu belum banyak yang tau tentang manfaat dan
keuntngan apa saja yang dapat dihasilkan dengan operasi pada bilangan prima,
bagaimana sejarah bilangan prima dari awal, sifat sifat bilangan prima, cara
menentukan bilangan prima dll. Dengan makalah ini akan dibahas lebih lanjut
tentang bilangan prima.
B.
Rumusan
masalah
1. Bagaimana
sejarah bilangan prima dan apa
manfaatnya?
2. Apa
definisi bilangan prima., komposit dan faktorisasai prima?
3. Bagaimana
sifat-sifat bilangan prima?
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Sejarah
Bilangan Prima
Bilangan
prima telah dipelajari selama ribuan tahun. Buku “Elements” karya Euclid
diterbitkan sekitar 300 tahun sebelum masehi yang menjadi bukti beberapa hasil
terkait bilangan prima. Pada bagian IX dari “Elements”, Euclid menulis
kemungkinan terdapat begitu banyak bilangan prima, mendekati tak hingga. Euclid
juga memberi bukti teori dasar dari Aritmatika, dimana setiap bilangan bulat
dapat ditulis sebagai hasil perkalian bilangan prima secara unik.
Pada buku “Elements”,
Euclid menyelesaikan masalah tentang bagaimana menciptakan angka sempurna,
dimana bilangan bulat positif setara dengan jumlah dari pembagi positif,
menggunakan bilangan prima Marsenne. Bilangan prima Marsenne merupakan bilangan
prima yang dapat dihitung lewat persamaan 2n – 1. Bilangan Marsenne termasuk
angka terbesar yang pernah terungkap.
Pada tahun 200 sebelum
masehi, Eratosthenes membuat algoritma untuk menghitung bilangan prima, yang
dikenal juga sebagai Saringan Eratosthenes. Algoritma merupakan salah satu
algoritma yang pertama kali ditulis. Eratosthenes meletakkan angka pada kotak
dan mencoret berbagai angka yang tergolong kelipatan dan akar kuadrat sehingga
angka tersisa merupakan bilangan prima.
Namun saat Dark Ages,
dimana intelektual dan sains mengalami tekanan, tidak ada lagi karya berikutnya
yang membahas bilangan prima. Pada abad ke 17, ahli matematika seperti Fermat,
Euler, dan Gauss mulai memeriksa pola yang muncul pada bilangan prima.
Konjektur dan teori yang dibuat para ahli matematika disaat itu menciptakan
revolusi dari matematika, dan beberapa diantaranya masih dibuktikan hingga saat
ini.[1]
B. Pengertian Bilangan Komposit
Bilangan komposit adalah bagian dari bilangan asli yang
memiliki lebih dari 2 faktor, sehingga bilangan komposit dapat dibagi lagi oleh
bilangan lain selain angka 1 dan bilangan itu sendiri.
Nilai
bilangan komposit adalah dari hasil perkalian dua atau lebih perkalian bilangan
prima.
1
bukanlah bilangan komposit karena 1 hanya meiliki 1 faktor, sehingga bilangan
komposit dimulai dari angka 4.
Berikut
bilangan komposit 1-100
4,
6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33,
34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58,
60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81,82, 84, 85,
86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100
Contoh A: 4 adalah bilangan komposit
Angka
4 dapat dibagi oleh angka 1, 2, dan 4
·
Dibagi oleh
1 yaitu 4 ÷ 1 = 4
·
Dibagi oleh
dirinya sendiri yaitu 4 ÷ 4 = 1
·
Dibagi oleh bilangan lainnya yaitu 4 ÷ 2 = 2
(Syarat Komposit)
Sehingga
diketahui 4 diperoleh dari perkalian 2 bilangan prima yaitu 2 × 2
Contoh B: 7 bukan bilangan komposit
Angka
7 hanya bisa dibagi oleh 1 dan 7, sehingga angka 7 hanya memiliki 2 faktor.
Untuk selanjutnya angka 7 disebut bilangan prima.
Sehingga
dapat diketahui setiap bilangan yang merupakan bilangan prima adalah bukan
komposit.
Ilustrasi
di atas merupakan perkalian bilangan prima yang menghasilkan bilangan komposit.
Contoh Bilangan Komposit
Himpunan
bilangan komposit 1-10
{4,
6, 8, 9}
Himpunan
bilangan komposit ganjil
{9,
15, 21, 25, 27, …}
Bilangan komposit merupakan bilangan asli
yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima. Atau bilangan komposit juga
bisa diartikan sebagai faktorisasi dari bilangan bulat. Pengertian lain juga
mengatakan bahwa bilangan komposit yakni hasil perkalian antara dua atau lebih
bilangan prima.
Selain itu bilangan komposit adalah
bilangan cacah selain 1 dan 0 serta bukan termasuk bilangan prima. Bilangan
komposit juga mempunyai istilah lain yaitu bilangan tersusun. Bilangan komposit
juga memiliki faktor lebih dari dua.
Contoh bilangan komposit adalah sebagai
berikut:
1.
Sepuluh Bilangan
Komposit
4,6,8,9,10,12,14,15,16,18
2. Bilangan Komposit Kurang dari 10
4,6,8,9
3. Bilangan Komposit pada Dadu
4,6
4. Sepuluh Bilangan Komposit Pertama
4,6,8,9,10,12,14,15,16,18
Bilangan komposit merupakan bilangan
asli lebih besar dari dan bukan bilangan prima dan disebut sebagai bilangan
yang memiliki faktor lebih dari dua. Bilangan ini bisa dinyatakan sebagai
faktorisasi bilangan bulat dan hasil kali dua bilangan prima atau lebih.
Contohnya yaitu:
·
2 x 2 x2 = 8 atau 2x 2
= 4 atau 2^3 = 8 atau 2^2= 4
·
3 x 3 x 3 = 27 atau 3
x 3 = 9 atau 3^3= 27 atau 3^2= 9
Jadi kesimpulannya
apabila ada perkalian 2 bilangan prima atau lebih maka bilangan tersebut
merupakan bilangan komposit.
C.
Manfaat
Bilangan Prima
Saat
ini bilangan prima dapat dimanfaatkan pada RSA dan El-Gamel yaitu suatu usaha
penggunaan sandi rahasia untuk kepentingan pengamanan (Semantical Security).
Dalam El-Gamel, dibutuhkan sebuah grup Zp *, yaitu grup dengan Z adalah
himpunan bilangan prima dan operasi *. Kemudian El-gamel tidak hanya
membutuhkan grup tetapi juga subgrup dari Zp* dengan generatornya diambil dari
Grup Zp*. Hal tersebut diperlukan karena pengamanan dengan hanya menggunakan
Plain Group, membuat kode keamanan El-Gamel menjadi kurang terjamin. Implikasi
kebermanfaatan bilangan prima sekarang ini, digunakan untuk kode-kode rahasia
kartu ATM suatu bank.[2]
D.
Definisi
Bilangan Prima
Bilangan
prima adalah bilangan bulat positif (bilangan asli) yang lebih dari satu yang
mempunyai hanya dua faktor atau yang mempunyai tepat dua pembagi, yaitu satu
dan dirinya sendiri[3]. Berikut suatu tabel yang menunjukan
banyaknya pembagi atau faktor dari bilangan.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
1
|
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
|
4
9
25
|
6
8
10
14
1
21
22
26
27
33
34
35
|
15
|
12
18
20
28
32
|
|
24
30
|
Berdasarkan tabel di atas, dapat dilihat bahwa untuk
kolom pertama hanya bilangan 1 yang mempunyai 1 faktor. Pada kolom kedua
terlihat bahwa semua bilangan yang ada pada kolom tersebut hanya mempunyai 2
faktor. Setiap bilangan yang ada pada kolom ketiga mempunyai 3 faktor.
Kolom keempat mempunyai 4 faktor, kolom kelima mempunyai
5 faktor, kolom keenam mempunyai 6 faktor, dan kolom kedelapan mempunyai 8
faktor. Sementara untuk kolom ketujuh tidak ada bilangan yang mempunyai 7
faktor.
Sebarang bilangan bulat
positif yang mempunyai tepat dua pembagi positif berbeda disebut bilangan
prima. Sebarang bilangan bulat yang lebih besar dari 1 yang mempunyai faktor
positif selain 1 dan dirinya sendiri disebut bilangan komposit. Contoh :
bilangan 4,6, dan 16 adalah bilangan komposit karena bilangan-bilangan itu
mempunyai suatu faktor selain 1 dan dirinya sendiri. Bilangan 1 hanya mempunyai
1 faktor sehingga 1 bukan bilangan prima dan juga bukan bilangan komposit.
Bilangan prima tersebut hanya satu yang merupakan bilanga
genap, yaitu 2. Karena bilangan genap selanjutnya merupakan bilangan kelipatan
2, sehingga bilangan genap selain 2 adalah bilangan komposit.
E.
Faktorisasi
Prima
Suatu faktorisasi yang memuat hanya bilangan-bilangan
prima disebut faktorisasi prima. Untuk menentukan faktorisasi prima dari suatu
bilangan komposit yang diberikan, pertama kita tulis kembali bilangan tersebut
sebagai suatu hasil kali dua bilangan-bilangan yang lebih kecil, kemudian
pemfaktoran bilangan-bilangan yang lebih kecil sampai seluruh faktor-faktor
adalah bilangan-bilangan prima.[4]
Contoh :
Perhatikan bilangan 260
260 = 2.2.5.13 = 22.5.13
Prosedur untuk mencari faktorisasi prima dari suatu bilangan
juga dapat menggunakan pohon faktor.
Lima
Sifat Bilangan Prima
1. Sifat
1 (teorema dasar aritmatika)
Setiap bilangan komposit dapat di tulis juga sebagai hasil kali
bilangan prima dalam satu dan hanya satu cara. Sifat ini merupakan dasar untuk
menemukan faktorisasi prima dari suatu bilangan. Contoh : bilangan 260. Untuk
menemukan faktor prima dari bilangan 260, maka kita mulai membagi bilangan 260
dengan bilangan prima terkecil yaitu 2, lalu kita periksa apakah 2 adalah
pembagi bilangan itu. Jika tidak maka kita coba dengan bilangan prima yang
lebih besar berikutnyadan kita periksa keterbagiannya oleh bilangan prima ini.
2. Sifat
2
Jika faktorisasi prima suatu bilangan n adalah n = P1q1. P2q2 .
P3q3 . . . Pnqn, maka banyaknya pembagi n dalam (q1+1) (q2+1) . . . (qn + 1).
Contoh : tentukan semua pembagi 912
Jawaban :
Faktorisasi prima dari 912 adalah 24 . 3 .19 . Ada 5 . 2 . 2 .
Atau 20 pembagi. Pembagi-pembagi 24 adalah 1,2,4,8 dan 16. Pembagi-pembagi 3
adalah 1 dan 3. Pembagi-pembagi 19 adalah 1 dan 19. Dengan demikian
pembagi-pembagi 912 adalah 1 , 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 19, 38, 76, 152,
304, 57, 114, 228, 456, dan 912.
3. Sifat
3
Misalkn d ≠ 0 dan n ≠ 0. jika d adalah faktor n, maka ⁿ/d adalah faktor dari n. contoh : Misalkan p
adalah faktor prima terkecil dari bilangan n. Dengan menggunakan sifat 3, ⁿ⁄p
adalah suatu faktor dari n. karena p adalah faktor terkecil dari n, kita
peroleh p ≤ n⁄p jika p ≤ n⁄p maka p2 ≤ n.
4. Sifat
4
Jika n adalah suatu bilangan komposit maka n mempunyai suatu
faktor prima p sedemikian sehingga p2 ≤ n.
Sifat 4 ini dapat digunakan untuk menentukan suatu bilangan
yang diberikan termasuk bilangan prima atau bilangan komposit. Contoh :
bilangan 109. Jika 109 adalah bilangan komposit, maka 109 harus mempunyai suatu
faktor prima p sedemikian sehingga p2 ≤ 109. Bilangan-bilangan prima yang
dikuadratkan tidak melewati 109 adalah 2, 3, 5, dan 7. Kita tahu bahwa 2, 3, 5
dan 7 masing-masing bukan merupakan faktor dari 109. Dengan demikian 109 adalah
bilangan prima.
5. Sifat
5
Jika n suatu bilangan bulat lebih besar dari 1 dan tidak dapat
dibagi oleh sebarang bilangan prima p maka n adalah bilangan prima. Salah satu
cara untuk menemukan seluruh bilangan prima yang lebih kecil dari suatu
bilangan bulat yang diberikan adalah dengan menggunakan saringan Eratoshenes :
Jika semua bilangan asli lebih besar 1 ditempatkan pada suatu “saringan” maka
bilangan yang bukan bilangan prima diberi tanda silang (artinya jatuh melalui
lobang saringan). Bilangan-bilangan yang tersisa adalah bilangan-bilangan
prima.
Berikut contoh bagaimana saringan Eratosthenes bekerja. Buat
kotak 10 x 10 berisi bilangan 1 – 100. Selanjutnya kita akan mencoret angka
kelipatan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10 karena 10 merupakan akar kuadrat dari
100. Saat seluruh angka kelipatan dicoret, kita mesti mencoret angka kelipatan
yang tersisa dari bilangan berikutnya. Setelah proses pencoretan angka
kelipatan mencapai kelipatan 100 (berarti 50), angka yang tersisa akan menjadi
bilangan prima. Saringan ini akan membuat kita mampu memperoleh sejumlah angka
bilangan prima.[5]
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Bilangan adalah suatu konsep
matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun
lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau
lambang bilangan.
Ada
banyak macam bilangan diantarnya adalah : Bilangan prima dan bilangan komposit.
B.
Saran
Mengingat pentingnya pelajaran
matematika karena matematika termasuk pelajaran yang di ujikan dalam Ujian Nasional untuk itu penulis menyarankan agar konsep
matematikan dapat tersampaikan dengan baik agar siswa dapat dengan mudah
memahami soal-soal matematika dan menyelesaikannya.
DAFTAR PUSTAKA
Hamdani,
Saepul dkk. 2009. Matematika 2 LAPIS PGMI.
Surabaya : Amanah Pustaka
https://asimtot.files.wordpress.com/2010/05/bilangan-prima.pdf.
diakses pada hari jumat, 24 Oktober 2014 pukul 16.34
http://www.bglconline.com/2014/07/penerapan-bilangan-prima/
diakses pada 17 Oktober 2014 pukul 13.45
http://endangarief-sejmat.blogspot.com/2009/12/sejarah-bilangan-prima.html
diakses pada 17 Oktober 2014 pukul 13.45
http://semuamakalahpembelajaran.blogspot.com/2017/06/makalah-bilangan-prima.html
diakses pada 6 Oktober 2018 pukul 15.31 WIB.
